📒📚📖UP-TET Study Material📚📖📒

दो या दो से अधिक सजातीय राशियों के जोड़ को उन राशियों की संख्या से भाग करने पर प्राप्त भागफल , उन राशियों का औसत कहलाता है। संख्याओं का कुल योग = संख्याओं का औसत × संख्याओं की कुल संख्या

किसी संख्या का अपवर्त्य ज्ञात करने के लिए उसे प्राकृतिक संख्या से गुणा करते हैं और जो संख्याएँ प्राप्त होती है , वो उस संख्या के अपवर्त्य कहलाते हैं। जैसे - 2 के अपवर्त्य - 2,6,8,10,12,14,16,18,20...... 3 के अपवर्त्य - 3,6,9,12,15,18,21,24,27,30,....... 4 के अपवर्त्य - 4,8,12,16,20,24,28,32,36,40... समापवर्त्य (Common Multiple) -   जो सभी में समाहित हो वो समपवर्त्य कहलाते हैं। जैसे - ऊपर 2 ,3और 4 के अपवर्त्य में 12,24,36 तीनो में सम्लित हैं । अतः 2,3और 4 के समापवर्त्य = 12,24,36 महत्वपूर्ण बिंदु- (1) किसी संख्या के अपवर्त्य असीमित होते है। (2) किसी भी संख्या का अपवर्त्य उस संख्या के बराबर या बड़ा होता है। (3) स्वयं वह संख्या सबसे छोटी अपवर्त्य होती है।

अपवर्तक - कोई संख्या जिन जिन संख्याओं से पूरी- पूरी  विभाजित हो जाती है, वे संख्याये उस संख्या की अपवर्तक कहलाती हैं। जैसे-      2 के अपवर्तक - 1'2      6 के अपवर्तक- 1,2,3,6      15 के अपवर्तक - 1,3,5,15       69 के अपवर्तक- 1,3,23,69 महत्वपूर्ण बिंदु- (1) 1 प्रत्येक संख्या का अपवर्तक है। (2) प्रत्येक संख्या स्वयं का अपवर्तक होती है। (3) किसी संख्या का प्रत्येक अपवर्तक उस संख्या का एक  पूर्ण विभाजक है। (4) किसी दी हुई संख्या के अपवर्तको की संख्या परिमित (सिमित) होती है। (5) किसी संख्या का प्रत्येक अपवर्तक उस संख्या से छोटा या उसके बराबर होता है।

ब्याज एक ऐसा शुल्क है जो उधार ली गयी संपत्ति (ऋण) के लिए किया जाता है। यह उधार लिए गए पैसे के लिए अदा की गयी कीमत है, या, जमा धन से अर्जित किया गया पैसा है। ब्याज के प्रकार साधारण ब्याज - साधारण ब्याज की गणना केवल मूल राशि पर, या मूलधन के उस भाग पर जिसे अभी तक अदा नहीं किया गया हो की जाती है। साधारण ब्याज की राशि की गणना निम्नलिखित फ़ॉर्मूले के अनुसार की जाती है: साधारण ब्याज = (मूलधन x समय x दर) / 100 कुछ अन्य सूत्र दर = ब्याज x 100 / (मूलधन x समय) समय = ब्याज x 100 / (मूलधन x दर) मूलधन = ब्याज x 100 / (समय x दर) मिश्रधन = मूलधन + ब्याज चक्रवृद्धि ब्याज- चक्रवृद्धि ब्याज, साधारण ब्याज के समान होता है, लेकिन समय के साथ इनका अंतर काफी गहरा होता जाता है। यह अंतर इसलिए है क्योंकि बकाया ब्याज को देय बकाया राशि में जोड़ा जाता है। इसे दूसरे तरीके से पेश किया जाए तो, उधारकर्ता पर पिछले ब्याज पर ब्याज लगाया जाता है। यह मानते हुए कि मूल धन या बाद के ब्याज का की किसी भी हिस्से का भुगतान नहीं किया गया है, ऋण निम्नलिखित फोर्मुलों द्वारा परिकलित किया जाता है:

पूँजी - कंपनी में लगाया पूरा धन उसकी पूँजी कहलाता है। शेयर - पूँजी को प्रायः समान मूल्य की इकाइयों में बांट दिया जाता है, प्रत्येक इकाई को शेयर कहते हैं। अंशधारी या शेयर धारी - शेयर खरीदने वाला व्यक्ति कंपनी का शेयर धारी या अंशधारी कहलाता है। सममूल्य / अंकितमूल्य / फेस वैल्यू या पार वैल्यू - जिस मूल्य पर एक शेयर कंपनी द्वारा जारी किया जाता है, उसे सममूल्य या अंकितमूल्य या फेस वैल्यू या पार वैल्यू कहते है। दलाली शेयर के बाजार मूल्य पर ली या दी जाती है, उसके अंकित मूल्य पर नहीं। किसी शेयर के बेचने पर प्राप्तव्य राशि = बाजार मूल्य - दलाली किसी शेयर को खरीदने पर खर्च की गयी राशि = बाजार मूल्य + दलाली

चेक निम्नलिखित 3 प्रकार के होते हैं। (1) वाहक चेक या धारक चेक ( बियरर चेक) - यह चेक जिसके नाम होता है,वह स्वयं अथवा किसी वाहक के द्वारा उस पर लिखी धनराशि को बैंक से प्राप्त कर सकता है। चेक पर खातेदार का हस्ताक्षर आवश्यक है। (2) आदेशित चेक (आर्डर चेक) - इस प्रकार के चेक का भुगतान बैंक मात्र उसी व्यक्ति को करेगा जिसके नाम चेक काटा गया है। (3) रेखांकित चेक (क्रास चेक) - जब चेक के बाएं कोने पर दो तिरछी समान्तर रेखाएं खीचकर उनके मध्य & CO., Not - Negotiable अथवा A/c Payee Only लिख देते हैं,ऐसे चेक को रेखांकित चेक कहते हैं। A/C Payee Only या Not Negotiable लिखे चेक का भुगतान चेक धारक अपने खाते में ही जमा करके प्राप्त कर सकता है, किन्तु & Co वाला क्रास चेक दूसरे के चालू खाते में भी जमा करके प्राप्त किया जा सकता है।

बैंक में खाते के प्रकार बैंक में प्रमुख खाते निम्नवत हैं (1) बचत खाता (Saving Bank Account) (2) चालू खाता (Current Account) (3) सावधि जमा खाता (Fixed Deposit Account) (4) आवर्ती (संचयी ) जमा खाता (Recurring Deposit Account) (5) अल्पवयस्क का खाता (Minor Account)

घटते हुए क्रम को अवरोही क्रम कहते हैं; जैसे - 735,701,655,508,499,450,303 आदि।

बढ़ते हुए क्रम को आरोही क्रम कहते हैं; जैसे- 275,278,300,500

दी गई संख्या 11 से तभी विभाज्य होगी ,जबकि इकाई से बाई ओर से सम स्थानो के अंकों के योग तथा वि षम स्थानो के अंकों का योग का अंतर 0 हो अथवा 11 से विभाज्य हो। जैसे-      1361052 ( सम स्थानो के अंकों का योग ) - (विषम स्थानो के अंकों का योग) = (5+1+3) - (2+0+6+1)= 0 अतः दी गई संख्या 11 से पूर्णतया विभाज्य होगी।

दी गई संख्या 9 से विभाज्य तभी होगी, जबकि इस संख्या के अंकों का योग 9 से विभाज्य होगी। जैसे-       956421 अंको का योग = 9+5+6+4+2+1= 27 जो 9 से पूर्णतया विभाज्य है । अतः दी गई संख्या 9 से पूर्णतया विभाज्य होगी।

दी गई संख्या 8 से विभाज्य तभी होगी,जबकि इसके सैकड़े ,दहाई और इकाई के अंको से बनी संख्या 8 से विभाज्य होगी। जैसे -      3469360 के सैकड़े ,दहाई और इकाई के अंकों से बनी संख्या 360 है, जो 8 से पूर्णतया विभाज्य है । अतः यह संख्या 8 से पूर्णतया विभाज्य होगी।

दी गई संख्या 5 से विभाज्य तभी होगी जबकि इसका इकाई का अंक 0 अथवा 5 होगी। जैसे -       67985  इसमें इकाई अंक 5 है , इसलिए 5 से विभाज्य होगी।       69870 इसमें इकाई का अंक 0 है, इसलिए 5 से विभाज्य होगी।

दी गई संख्या 4 से विभाज्य तभी होगी जबकि इसके दहाई और इकाई के अंकों से बनी संख्या 4 से विभाज्य होगी। जैसे - 679512 में दहाई तथा इकाई के अंकों से बनी संख्या 12 है, जो 4 से विभाज्य है। अतः 679512 भी विभाज्य होगी।

दी गई संख्या 3 से विभाज्य तभी होगी जबकि इस संख्या के अंकों का योग 3 से विभाज्य हो। जैसे -  संख्या 674502 के अंकों का योग      6+7+4+5+0+2 = 24 जो 3 से पूर्णतया विभाज्य है , अतः 674502 भी 3 से पूर्णतया विभाज्य होगी।

2 से विभाज्य - दी गयी संख्या दो से तभी विभाज्य होगी जब उसका इकाई का अंक 0,2,4,6,8 में से कोई एक हो। जैसे - 52790           स्पष्टतया 2 से विभाज्य होगी , क्योकि इसका इकाई का अंक 0 है।

चिन्ह ' =' का अर्थ है ' के बराबर है '। जैसे - 10 +1 = 11 तथा 1+ 10 = 11 अतः 10+1 = 1+10 चिन्ह '< ' का अर्थ है 'से कम है' । जैसे - 7< 8 चिन्ह '>' का अर्थ है 'से अधिक है' । जैसे - 15>9

सैकड़ा के स्थान के अंक को लेना है। यदि यह 5 से छोटा है , तो इसके व दहाई तथा इकाई के स्थान के अंक को 0 से बदलना है। यदि यह 5 या 5 से बड़ा है, तो इसके व दहाई तथा इकाई के स्थान के अंकों को 0 से बदलना है तथा हजार के स्थान के अंक में एक जोड़ना है। जैसे - निकटतम हजार के रूप में 1356 का सन्निकटन 1000 तथा 1756 का सन्निकटन 2000 होगा। नोट- उपर्युक्त विधि के अनुसार ही निकटतम दस हजार ,लाख ,दस लाख ,..................इत्यादि का सन्निकटन निकाला जा सकता है।

दहाई के स्थान को लेना है ,यदि यह 5 से छोटा है ,तो इसके व इकाई के अंक को 0 से बदलना है। यदि यह 5 या 5 से बड़ा है ,तो इसके व इकाई के अंक को 0 से बदलना है और सैकड़े के स्थान के अंक में 1 जोड़ना है। जैसे- 136 का निकट तम  सैकड़ा के रूप में सन्निकटन 100 तथा 156 का सन्निकटन 200 होगा।

निकटतम दहाई तक - इकाई के स्थान के अंक को लेना है,यदि यह 5 से छोटा है,तो इसके स्थान पर 0 लिखना है। यदि यह 5 या 5 से बड़ा है , तो इसके स्थान पर 0 लिखना है और दहाई के अंक में एक जोड़ना है। जैसे- 13 का निकटतम दहाई के रूप में सन्निकटन 10 होगा और 16 का निकटतम दहाई अंक के रूप में सन्निकटन 20 होगा।

दी गई संख्या में किसी अंक का स्थानीय मान निकालना इकाई का स्थानीय मान = (इकाई का अंक )×1 दहाई के अंक का स्थानीय मान= (दहाई का अंक )×10 सैकड़े के अंक का स्थानीय मान = (सैकड़े का अंक)×100 हजार के अंक का स्थानीय मान= (हजार का अंक)×100 जैसे -275 की प्रत्येक संख्या का स्थानीय मान 5 का स्थानीय मान = 5×1=5 7 का स्थानीय मान = 7×10=70 2 का स्थानीय मान = 2×100=200

"किसी अंक का जातीय मान उस अंक का अपना मान है, चाहे वह अंक किसी भी स्थान पर हो ।" जैसे -271 में 7 का जातीय मान 7 है।

ऐसी संख्याये जो 1 और स्वयं के अलावा किसी भी दूसरी संख्या से विभाज्य हो जाएं, भाज्य संख्याये कहलाती हैं। जैसे -4, 6, 8, 10, 12..........................

ऐसी संख्याएँ जो केवल अपने से तथा 1 से पूर्णतया विभाज्य हो तथा अन्य किसी तीसरी प्राकृतिक संख्या से विभाज्य न हो, अभाज्य संख्याएँ कहलाती हैं। जैसे - 2,3,5,7,11...........

जो संख्याएँ स्वयं के अलावा दूसरे से विभाज्य नहीं होती हैं,उन्हें विषम संख्या कहते हैं। उदाहरण - 1, 3 , 5, 7,.........